| # | SCHEDA | DATA ULTIMA REVISIONE | NUM PAGINE | DESCRIZIONE | Download |
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| 1 | SCHEDA 1 - Proprieta Strutture Algebriche.pdf | 11-02-2025 | 54 | Ordinamento di un insieme.
Definizione assiomatica dell’insieme ℕ dei numeri naturali e introduzione alle sue proprietà elementari.
Definizione assiomatica dell'insieme ℝ dei numeri reali e dell’insieme ℂ dei numeri complessi.
Dimostrazione che ℝ ⊆ ℂ
Formalizzazione delle proprietà di base delle strutture di campo e di spazio vettoriale. | Apri |
| 2 | SCHEDA 2 - Teorema di derivazione della funzione inversa.pdf | 12-03-2025 | 46 | Simbologia convenzionale utilizzata nelle schede seguenti.
Definizione e principali proprietà dei limiti.
Teorema di derivazione della funzione inversa nel caso particolare di funzioni strettamente monotone ℝ → ℝ.
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| 3 | SCHEDA 3 - Numero di Eulero.pdf | 19-12-2023 | 16 | Definizione del numero di Eulero "e" come limite della successione (1+1/n)^n
Dimostrazione che "e" è compreso tra 2 e 3. | Apri |
| 4 | SCHEDA 4 - Funzione Esponenziale e logaritmo .pdf | 15-12-2024 | 52 | Definizione formale della funzione esponenziale.
Dimostrazione dell'equivalenza tra la definizione come limite di una successione e la definizione tramite serie numerica.
Definizione formale della funzione logaritmo.
Dimostrazione formale delle proprietà di continuità e crescenza delle due funzioni.
Relazione tra somma e prodotto.
In appendice vengono introdotti e dimostrati i criteri di convergenza principali per le successioni e per le serie numeriche e vengono delineate le principali proprietà degli insiemi infiniti numerabili.
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| 5 | SCHEDA 5 - Esponenziale e Logaritmo a base generica.pdf | 19-12-2023 | 14 | Definizione formale della funzione esponenziale a base generica, della funzione logaritmo a base generica e dimostrazione delle loro proprietà elementari: esistenza, continuità, monotonia, relazione tra somma e prodotto, regola della potenza, formula per il cambiamento di base dei logaritmi. | Apri |
| 6 | SCHEDA 6 - Funzione Potenza con esponente naturale.pdf | 19-12-2023 | 17 | Definizione formale della funzione potenza ad esponente naturale e delle sue proprietà fondamentali analitiche (simmetria, monotonia, continuità) e algebriche. Dimostrazione dell'invertibilità nell'insieme dei reali non negativi e introduzione alla funzione radice. | Apri |
| 7 | SCHEDA 7 - Funzioni Seno e Coseno.pdf | 24-12-2023 | 35 | Definizione formale "alternativa" delle funzioni seno e coseno tramite serie di funzioni. Dimostrazione delle loro proprietà fondamentali (esistenza, continuità, identità trigonometriche) e delle proprietà di periodicità. Dimostrazione dell'esistenza del π come punto di annullamento della funzione.
Tramite una teoria basata sulle soluzioni intere dell'equazione lineare diofantea a sul teorema di approssimazione di Dirichlet si dimostra inoltre che tutti i punti di annullamento della funzione seno sono multipli interi di π.
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| 8 | SCHEDA 8 - Equazioni Funzionali di Cauchy.pdf | 20-12-2023 | 16 | Proprietà di base delle soluzioni delle equazioni funzionali di Cauchy
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a+b)=f(a)f(b)
f(ab)=f(a)f(b)
In particolare si dimostra che ogni soluzione continua in ℝ dell’equazione f(a+b)=f(a)f(b)deve necessariamente appartenere all’insieme delle funzioni esponenziali a base generica. | Apri |
| 9 | SCHEDA 9 - Funzione Potenza con esponente reale.pdf | 21-12-2023 | 26 | Definizione formale di potenza ad esponente intero e di potenza ad esponente razionale. Giustificazione dell'identità exp(x,a)=a^x in ambito razionale tramite le proprietà delle soluzioni dell'equazione funzionale di Cauchy f(p+q)=f(p)f(q).
Definizione formale di potenza ad esponente reale. Dimostrazione delle proprietà di base (continuità e crescenza)
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| 10 | SCHEDA 10 - Funzioni differenziabili e derivate.pdf | 10-02-2025 | 48 | Definizione di funzione differenziabile e di funzione derivata (ambito ℝ→ℝ). Dimostrazione delle principali proprietà della derivata (linearità, regola del prodotto, regola del rapporto, chain rule). Derivata delle funzioni elementari. Per le funzioni definite tramite serie (esponenziale, seno e coseno) viene fornita una dimostrazione alternativa dell’espressione della derivata basata sul teorema di derivazione termine a termine.
In appendice vengono dimostrati i teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, de l'Hopital.
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| 11 | SCHEDA 11 - Introduzione agli spazi vettoriali e alle strutture Kn.pdf | 14-03-2025 | 24 | Formalizzazione delle proprietà elementari delle strutture di spazio vettoriale. In particolare viene introdotto il concetto di base e si dimostra che ogni base di uno spazio vettoriale è costituta dallo stesso numero di vettori (chiamato dimensione dello spazio).
Viene quindi introdotta formalmente la struttura K^n che si specializza in ℂ, ℝ^n, ℂ^n. Si dimostra quindi che la struttura K^n è uno spazio vettoriale. | Apri |
| 12 | SCHEDA 12 - P-NORMA.pdf | 12-03-2025 | 22 | Definizione della p-norma (norma di Hölder) negli spazi ℝ^n.
Dimostrazione che la p-norma è una norma (soddisfa la non negatività, non degenerazione, omogeneità, disuguaglianza triangolare generalizzata).
Per La dimostrazione della disuguaglianza triangolare generalizzata si utilizza la disuguaglianza di Minkoski, dimostrata in appendice. | Apri |
| 13 | SCHEDA 13 - derivate di ordine superiore.pdf | 09-02-2024 | 25 | Formula per la derivata di ordine n della sommatoria
Formula di Leibniz per la derivata di ordine n del prodotto
Formula di Faà di Bruno per la derivata di ordine n della composizione di funzioni.
In appendice viene introdotto lo spazio dei multi-indici e le sue principali proprietà. | Apri |
| 14 | SCHEDA 14 - Formula Taylor.pdf | 06-03-2024 | 19 | Formula di Taylor ℝ ⇀ ℝ nella versione con termine complementare di Peano e Lagrange.
Espressione della Formula di Taylor per la somma di funzioni, per il prodotto di funzioni e per la composizione di funzioni.
Condizione sufficiente per la presenza di un estremante | Apri |
| 15 | SCHEDA 15 - Funzioni iperboliche e trigonometriche inverse .pdf | 03-04-2024 | 21 | Definizione e principali proprietà delle funzioni iperboliche (cosh(x), sinh(x)).
Dimostrazione dell'invertibilità e forma esplicita delle inverse (arccosh(x), arcsinh(x)).
Definzione e principali proprietà delle funzioni trigonometriche inverse (arcsin(x), arccos(x)) | Apri |
| 16 | SCHEDA 16 - Funzioni Convesse.pdf | 21-08-2024 | 37 | Definizione di funzione convessa (forma parametrica e forma cartesiana).
Condizioni necessarie e sufficienti per la convessità.
Definizione di flesso.
Condizione necessaria per la presenza di un flesso.
Condizione sufficiente per la presenza di un flesso. | Apri |
| 17 | SCHEDA 17 - Funzioni Lipschitziane.pdf | 01-07-2024 | 9 | Funzione lipschitziane e funzione hölderiane R^n⇀R^m.
Proprietà delle funzioni lipschiziane e derivabili.
Relazione tra lipschizianità e uniforme continuità | Apri |
| 18 | SCHEDA 18 - Introduzione agli Integrali propri.pdf | 25-06-2024 | 34 | Teoria dell'integrazione Riemann-Darboux ortodossa (funzioni limitate in intervalli limitati).
Dimostrazione dell'integrabilità delle funzioni continue,delle funzioni monotone e delle funzioni costanti a tratti.
Teorema di additività dell'integrale rispetto agli estremi
Teorema di linearità dell'integrale
Teorema del confronto tra integrali. | Apri |
| 19 | SCHEDA 19 - Fondamenti calcolo integrale.pdf | 01-08-2024 | 34 | Funzione integrale
Funzione primitiva
Integrazione per sostituzione
Integrazione per parti
Integrazione delle funzioni razionali | Apri |
| 20 | SCHEDA 20 - Integrali Generalizzati.pdf | 31-08-2024 | 41 | Integrali generalizzati (struttura che si specializza in integrali propri, integrali impropri di tipo 1 e di tipo 2)
Criteri di convergenza:
-Criterio del confronto
-Criterio del confronto asintotico
-Criterio dell'assoluta convergenza | Apri |
| 21 | SCHEDA 21 - Variazione di funzioni.pdf | 05-10-2024 | 36 | Introduzione alla variazione di funzioni
Continuità della variazione di funzioni limitate e continue
Decomposizione di Jordan delle funzioni a variazione limitata
Espressione integrale della variazione
Criterio di Abel-Dirichlet per la valutazione dell’esistenza dell’integrale improprio di un prodotto di funzioni. | Apri |
| 22 | SCHEDA 22 - Isomorfismo tra HOM(V,W) e Matrici.pdf | 30-01-2025 | 52 | Defininizione e principali proprietà delle matrici.
Definizione e principali proprietà delle applicazioni lineari e degli isomorfismi.
Isomorfismo tra spazi vettoriali aventi la stessa dimensione.
Isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari Hom(V,W) e spazio delle matrici.
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| 23 | SCHEDA 23 - Forme multilineari e sesquilineari.pdf | 04-01-2025 | 52 | Definizione e principali proprietà delle forme multilineari e sesquilineari
Matrici multidimensionali
Forme lineari
Forme bilineari
Spazi vettoriali duali | Apri |
| 24 | SCHEDA 24 - Matrici di cambiamento di base e automorfismi.pdf | 01-02-2025 | 31 | Definizione e principali proprietà delle Matrici di cambiamento di base
-Identità tra matrici di cambiamento di base e matrici invertibili
- Trasformazione delle componenti vettoriali per cambiamento di base
- Caratterizzazione dell'invertibilità delle matrici
- Relazione tra automorfismi e matrici di cambiamento di base
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| 25 | SCHEDA 25 - Sviluppi di Laplace e determinanti.pdf | 06-03-2025 | 42 | - Algoritmo di Gauss per la riduzione di una matrice in forma a scalini
- Sviluppi di Laplace
- Funzione determinante e principali proprietà
- Dimostrazione che lo sviluppo di Laplace è l'unica funzione determinante | Apri |